在本系列關(guān)于粒度及其分布的上一篇文章中，我們已使用連續(xù)分布定義了微分粒度分布和累積粒度分布函數(shù)的主要特征，并對(duì)此進(jìn)行了討論。連續(xù)分布可以通過(guò)分級(jí)實(shí)驗(yàn)?近似測(cè)量。例如，當(dāng)分級(jí)后的分布片段通過(guò)檢測(cè)器時(shí)，每秒采集一次數(shù)據(jù)，從而得出粒徑和含量*。然而，粒度本質(zhì)上是離散的。因此，讓我們來(lái)研究一下由單顆粒計(jì)數(shù)器測(cè)量的離散分布。?這里的“含量” 指的是在由上下限定義的粒度范圍中顆粒的數(shù)量、計(jì)數(shù)或頻率。

累積分布表格格式：

總計(jì)統(tǒng)計(jì)了1000顆顆粒（第二列），因此只需將小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位（如 104 變?yōu)?10.4%，第三列），即可輕松計(jì)算出每個(gè)粒度范圍（第一列）的百分比。累計(jì)小于某一粒度的百分比（第四列）通過(guò)將當(dāng)前粒度范圍的百分比與上方所有粒度范圍的百分比相加得出。因此，第一個(gè)粒度范圍的累積百分比為 10.4%；第二個(gè)為 10.4% + 16.0% = 26.4%；第三個(gè)為 16.1% + 26.4% = 42.5%；以此類(lèi)推，直至達(dá)到100%。

累積分布的圖形格式

如果我們以每個(gè)粒度范圍的上限為橫坐標(biāo)，以累積百分比為縱坐標(biāo)進(jìn)行繪圖，即可得到累積小于某一粒度的分布圖。如上圖所示。

本例由 10 個(gè)大小不等的粒度范圍組成，這在討論頻率分布時(shí)會(huì)產(chǎn)生影響。但在討論累積小于某一粒度的分布時(shí)，粒度范圍數(shù)量相對(duì)較少會(huì)更直觀易懂。

百分位數(shù)直徑是從圖中讀取的；然而，在這個(gè)特定的例子中，它們也可以直接從表格數(shù)據(jù)中估算得出，其中中位徑d₅₀恰好為 9 μm。

黑色的點(diǎn)表示原始數(shù)據(jù)，在零點(diǎn)處額外添加了一個(gè)點(diǎn)以便觀察。紅線表示連續(xù)累積小于某一粒度的分布的平滑曲線。顯然，由于數(shù)據(jù)點(diǎn)很少，還可以繪制出多條不同的平滑曲線。或者，如果已知累積小于某一粒度的分布的簡(jiǎn)單函數(shù)形式，則可對(duì)其進(jìn)行非線性最小二乘擬合。問(wèn)題：大多數(shù)粒度分布不符合簡(jiǎn)單的函數(shù)形式。偶爾有些分布符合，如對(duì)數(shù)正態(tài)分布（兩個(gè)參數(shù)），但并不多。

如果沒(méi)有可求導(dǎo)的簡(jiǎn)單函數(shù)形式，或者像這里一樣數(shù)據(jù)點(diǎn)太少，那么數(shù)值微分就非常不可靠。在這種情況下，為了確定平均值、眾數(shù)值和寬度度量，應(yīng)如何獲得與微分粒度分布等效的數(shù)據(jù)呢？

答案：從直方圖入手。

頻率分布直方圖

該圖展示了不同粒度范圍（第一列）下顆粒的數(shù)量（第二列）。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，這被稱(chēng)為每個(gè)粒度范圍的出現(xiàn)頻率。

但這看起來(lái)并不太像粒度分布，對(duì)嗎？

原因很簡(jiǎn)單：粒度級(jí)并不都是相同的，因此，在我們采取措施解決這個(gè)問(wèn)題之前，我們無(wú)法識(shí)別出與本系列前文所展示的微分粒度分布類(lèi)似的內(nèi)容。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，將顆粒數(shù)量除以粒度范圍寬度，由此可得每微米的頻率（見(jiàn)下表第三列）。這使得我們能夠比較不同粒度范圍下的分布。

每微米頻率與粒度范圍的關(guān)系圖

將第三列（每微米頻率）與第一列（粒度范圍）作圖，開(kāi)始呈現(xiàn)出粒度分布的樣子：

可以看到眾數(shù)直徑大約在 6 μm 附近。并且可以按如下公式計(jì)算平均直徑：

其中，N_i為第二列中的數(shù)值，即顆粒的頻率（計(jì)數(shù)或數(shù)量），d_i為第一列顆粒粒度范圍的中點(diǎn)值。對(duì) i 值從 1 到 10 的粒度范圍進(jìn)行求和，結(jié)果得出數(shù)量平均直徑為 10.8 μm。

甚至可以估算半峰寬寬：由于最大值約為 80，其一半就是 40。在 40 處畫(huà)一條水平線，它與單峰圖在 4 μm和 14 μm 處相交。因此，半峰寬（FWHM）為 10 μm，半峰半寬（HWHM）為 5 μm。

現(xiàn)在，任何柱形的面積都代表該粒度范圍內(nèi)的總量，在此情況下為顆粒的數(shù)量。這類(lèi)似于連續(xù)微分分布曲線在任意兩個(gè)直徑之間的面積。在頻率分布中，柱形的高度代表該粒度范圍內(nèi)的顆粒總數(shù)。

因此，通過(guò)頻率/微米圖表示等效的微分顆粒粒度分布，我們可以再次確定平均直徑、眾數(shù)直徑、半峰寬以及粒度分布寬度的其他絕對(duì)和相對(duì)度量。然而，以下是我們無(wú)法做到的：除非計(jì)數(shù)的顆粒總數(shù)相等，否則我們無(wú)法比較兩個(gè)不同的分布。

每微米的占比與粒度范圍的關(guān)系圖

為了比較不同總數(shù)量的分布，我們必須將每個(gè)粒度范圍內(nèi)每微米的頻率除以顆粒總數(shù)（1000）。這樣就得到了每微米的占比，即第四列。每微米的占比與粒度范圍的垂直條形圖如下所示：

其形狀與 每微米的頻率完全相同，但 y 軸現(xiàn)在是每微米的占比。如果你有不同的測(cè)量數(shù)據(jù)，就可以在這種類(lèi)型的圖中疊加展示，以查看它們是否相同。

在此還可以做一件事，來(lái)呈現(xiàn)離散的 “占比 /粒度范圍” 圖是如何開(kāi)始類(lèi)似于連續(xù)微分分布的。使用平滑且連續(xù)的曲線連接每個(gè)柱形的中點(diǎn)，這樣得到的圖形就類(lèi)似微分粒度分布。盡管可以繪制出許多類(lèi)似的平滑曲線。

哪種離散分布是最佳的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)方式？

如果粒度范圍相對(duì)較少，且沒(méi)有理由認(rèn)為某個(gè)特定函數(shù)能很好地?cái)M合數(shù)據(jù)，則僅使用從累積小于某一粒度的分布中獲得的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：中位數(shù)、百分位數(shù)、跨度等。這些數(shù)值的誤差最小。

總結(jié)

與連續(xù)分布的情況類(lèi)似，人們可以從離散的表格數(shù)據(jù)構(gòu)建累積小于某一粒度的離散分布，并確定中位數(shù)、百分位數(shù)和分布寬度的度量。構(gòu)建類(lèi)似于連續(xù)微分分布的圖形更為困難。

若要構(gòu)建類(lèi)似圖形，可從 “頻率與粒度范圍” 的表格和圖形入手。如果所有粒度范圍都相等，則將每個(gè)頻率除以顆粒總數(shù)，并創(chuàng)建 “占比/粒度范圍” 圖。

如果粒度范圍不相等，則先將每個(gè)頻率除以其自身的粒度范圍寬度，然后再除以顆粒總數(shù)。

如果粒度范圍的數(shù)量足夠多，看看能否通過(guò)連接中點(diǎn)構(gòu)建出類(lèi)似平滑微分分布的圖形。

? 例如重力沉降和離心沉降、場(chǎng)流分離、流體動(dòng)力學(xué)色譜法等。

* 含量可以是數(shù)量加權(quán)、表面積加權(quán)、體積加權(quán)、質(zhì)量加權(quán)或光強(qiáng)加權(quán)。不同加權(quán)方式得到的分布之間會(huì)有差異。加權(quán)的主題在本系列關(guān)于粒度測(cè)量的另一篇文章中進(jìn)行了討論。

? 單顆粒計(jì)數(shù)器包括電感應(yīng)區(qū)計(jì)數(shù)器和光感應(yīng)區(qū)計(jì)數(shù)器、圖像分析儀以及單顆粒追蹤裝置。